Erforschung der exponentiell gewichteten beweglichen durchschnittlichen Volatilität ist das häufigste Maß an Risiko, aber es kommt in mehreren Geschmacksrichtungen. In einem früheren Artikel haben wir gezeigt, wie man einfache historische Volatilität berechnet. (Um diesen Artikel zu lesen, siehe Volatilität verwenden, um zukünftiges Risiko zu beurteilen.) Wir haben Googles aktuelle Aktienkursdaten verwendet, um die tägliche Volatilität auf der Grundlage von 30 Tagen Lagerbestand zu berechnen. In diesem Artikel werden wir die einfache Volatilität verbessern und den exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitt (EWMA) diskutieren. Historische Vs. Implizite Volatilität Zuerst können wir diese Metrik in ein bisschen Perspektive bringen. Es gibt zwei breite Ansätze: historische und implizite (oder implizite) Volatilität. Der historische Ansatz geht davon aus, dass Vergangenheit Prolog ist, messen wir die Geschichte in der Hoffnung, dass es prädiktiv ist. Implizite Volatilität hingegen ignoriert die Geschichte, die sie für die Volatilität der Marktpreise löst. Es hofft, dass der Markt am besten weiß und dass der Marktpreis, auch wenn implizit, eine Konsensschätzung der Volatilität enthält. (Für verwandte Lesung siehe die Verwendungen und Grenzen der Volatilität.) Wenn wir uns nur auf die drei historischen Ansätze konzentrieren (links oben), haben sie zwei Schritte gemeinsam: Berechnen Sie die Reihe der periodischen Renditen Bewerben Sie ein Gewichtungsschema Zuerst haben wir Berechnen Sie die periodische Rückkehr. Das ist typischerweise eine Reihe von täglichen Renditen, bei denen jede Rückkehr in kontinuierlich zusammengesetzten Begriffen ausgedrückt wird. Für jeden Tag nehmen wir das natürliche Protokoll des Verhältnisses der Aktienkurse (d. h. der Preis heute geteilt durch den Preis gestern und so weiter). Dies führt zu einer Reihe von täglichen Renditen, von u i zu u i-m. Je nachdem wie viele Tage (m Tage) wir messen. Das bringt uns zum zweiten Schritt: Hier unterscheiden sich die drei Ansätze. In dem vorherigen Artikel (mit Volatility To Gauge Future Risk), haben wir gezeigt, dass unter ein paar akzeptablen Vereinfachungen, die einfache Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Renditen: Beachten Sie, dass dies summiert jede der periodischen Renditen, dann teilt diese Summe durch die Anzahl der Tage oder Beobachtungen (m). Also, es ist wirklich nur ein Durchschnitt der quadratischen periodischen Rückkehr. Setzen Sie einen anderen Weg, jede quadratische Rückkehr wird ein gleiches Gewicht gegeben. Wenn also Alpha (a) ein Gewichtungsfaktor ist (speziell 1 m), dann sieht eine einfache Varianz so aus: Die EWMA verbessert sich auf einfache Abweichung Die Schwäche dieses Ansatzes ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht verdienen. Gestern (sehr neuere) Rückkehr hat keinen Einfluss mehr auf die Varianz als die letzten Monate zurück. Dieses Problem wird durch die Verwendung des exponentiell gewichteten gleitenden Durchschnitts (EWMA) behoben, bei dem neuere Renditen ein größeres Gewicht auf die Varianz haben. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) führt Lambda ein. Der als Glättungsparameter bezeichnet wird. Lambda muss kleiner als eins sein. Unter dieser Bedingung wird anstelle von gleichen Gewichten jede quadrierte Rendite mit einem Multiplikator wie folgt gewichtet: Zum Beispiel neigt RiskMetrics TM, ein Finanzrisikomanagement-Unternehmen, dazu, ein Lambda von 0,94 oder 94 zu verwenden. In diesem Fall ist das erste ( (1 - 0,94) (94) 0 6. Die nächste quadratische Rückkehr ist einfach ein Lambda-Vielfaches des vorherigen Gewichts in diesem Fall 6 multipliziert mit 94 5,64. Und das dritte vorherige Tagegewicht ist gleich (1-0,94) (0,94) 2 5,30. Das ist die Bedeutung von Exponential in EWMA: jedes Gewicht ist ein konstanter Multiplikator (d. h. Lambda, der kleiner als eins sein muss) des vorherigen Tagegewichts. Dies stellt eine Varianz sicher, die gewichtet oder voreingenommen auf neuere Daten ist. (Um mehr zu erfahren, schau dir das Excel-Arbeitsblatt für Googles-Volatilität an.) Der Unterschied zwischen einfacher Volatilität und EWMA für Google ist unten dargestellt. Die einfache Volatilität wirkt effektiv jede periodische Rendite um 0,196, wie in Spalte O gezeigt (wir hatten zwei Jahre täglich Kursdaten, das sind 509 tägliche Renditen und 1509 0,196). Aber beachten Sie, dass Spalte P ein Gewicht von 6, dann 5.64, dann 5.3 und so weiter zuteilt. Das ist der einzige Unterschied zwischen einfacher Varianz und EWMA. Denken Sie daran: Nachdem wir die ganze Serie (in Spalte Q) zusammengefasst haben, haben wir die Varianz, die das Quadrat der Standardabweichung ist. Wenn wir Volatilität wollen, müssen wir uns daran erinnern, die Quadratwurzel dieser Varianz zu nehmen. Was ist der Unterschied in der täglichen Volatilität zwischen der Varianz und EWMA im Googles-Fall Sein signifikant: Die einfache Varianz gab uns eine tägliche Volatilität von 2,4, aber die EWMA gab eine tägliche Volatilität von nur 1,4 (siehe die Kalkulationstabelle für Details). Anscheinend hat sich die Googles-Volatilität in jüngster Zeit niedergelassen, eine einfache Varianz könnte künstlich hoch sein. Heutige Varianz ist eine Funktion von Pior Days Variance Youll bemerken wir brauchten, um eine lange Reihe von exponentiell abnehmenden Gewichten zu berechnen. Wir werden die Mathematik hier nicht machen, aber eines der besten Features der EWMA ist, dass die ganze Serie bequem auf eine rekursive Formel reduziert: Rekursive bedeutet, dass heutige Varianzreferenzen (d. h. eine Funktion der vorherigen Tagesabweichung) ist. Sie finden diese Formel auch in der Kalkulationstabelle, und sie erzeugt genau das gleiche Ergebnis wie die Langzeitberechnung Es heißt: Die heutige Varianz (unter EWMA) ist gleichbedeutend mit der vulkanischen Varianz (gewichtet durch Lambda) plus gestern quadrierte Rückkehr (gewogen von einem Minus Lambda). Beachten Sie, wie wir nur zwei Begriffe zusammenfügen: gestern gewichtete Varianz und gestern gewichtet, quadratische Rückkehr. Dennoch ist Lambda unser Glättungsparameter. Ein höheres Lambda (z. B. RiskMetrics 94) zeigt einen langsamen Abfall in der Serie an - in relativer Hinsicht werden wir mehr Datenpunkte in der Serie haben und sie werden langsamer abfallen. Auf der anderen Seite, wenn wir das Lambda reduzieren, zeigen wir einen höheren Zerfall an: die Gewichte fallen schneller ab, und als direkte Folge des schnellen Zerfalls werden weniger Datenpunkte verwendet. (In der Kalkulationstabelle ist Lambda ein Eingang, also kannst du mit seiner Empfindlichkeit experimentieren). Zusammenfassung Volatilität ist die momentane Standardabweichung eines Bestandes und die häufigste Risikometrität. Es ist auch die Quadratwurzel der Varianz. Wir können die Abweichung historisch oder implizit (implizite Volatilität) messen. Wenn man historisch misst, ist die einfachste Methode eine einfache Varianz. Aber die Schwäche mit einfacher Abweichung ist, dass alle Renditen das gleiche Gewicht bekommen. So stehen wir vor einem klassischen Kompromiss: Wir wollen immer mehr Daten, aber je mehr Daten wir haben, desto mehr wird unsere Berechnung durch entfernte (weniger relevante) Daten verdünnt. Der exponentiell gewichtete gleitende Durchschnitt (EWMA) verbessert die einfache Varianz durch die Zuordnung von Gewichten zu den periodischen Renditen. Auf diese Weise können wir beide eine große Stichprobengröße verwenden, aber auch ein größeres Gewicht auf neuere Renditen geben. (Um ein Film-Tutorial zu diesem Thema zu sehen, besuchen Sie die Bionische Schildkröte.) Beta ist ein Maß für die Volatilität oder das systematische Risiko eines Wertpapiers oder eines Portfolios im Vergleich zum Markt als Ganzes. Eine Art von Steuern, die auf Kapitalgewinne von Einzelpersonen und Kapitalgesellschaften angefallen sind. Kapitalgewinne sind die Gewinne, die ein Investor ist. Ein Auftrag, eine Sicherheit bei oder unter einem bestimmten Preis zu erwerben. Ein Kauflimitauftrag erlaubt es Händlern und Anlegern zu spezifizieren. Eine IRS-Regel (Internal Revenue Service), die strafrechtliche Abhebungen von einem IRA-Konto ermöglicht. Die Regel verlangt das. Der erste Verkauf von Aktien von einem privaten Unternehmen an die Öffentlichkeit. IPOs werden oft von kleineren, jüngeren Unternehmen ausgesucht. DebtEquity Ratio ist Schuldenquote verwendet, um eine company039s finanzielle Hebelwirkung oder eine Schuldenquote zu messen, um eine Einzelperson zu messen. Berechnungswert auf Risiko Beispiel Berechnender Wert auf Risiko Beispiel Diese Fallstudie (VaR) zeigt, wie man VaR in Excel mit zwei berechnet Verschiedene Methoden (Varianz Kovarianz und historische Simulation) mit öffentlich verfügbaren Daten. Was Sie brauchen Der Wert auf Risiko-Ressource und Referenz-Seite. Datensatz für Gold Spot Preise, die von Onlygold für den Zeitraum 1-Jun-2011 bis 29-Jun-2012 heruntergeladen werden können Datensatz für WTI Crude Oil Spot Preise, die von EIA. gov für den Zeitraum 1-Jun-2011 heruntergeladen werden können Bis 29-Jun-2012 Value at Risk Beispiel Wir decken die Variance Covarianance (VCV) und Historical Simulation (HS) Methoden zur Berechnung von Value at Risk (VaR). In der Liste unten beziehen sich die ersten 6 Items auf den VCV-Ansatz, während die letzten 3 Items den Historical Simulation-Ansatz betreffen. Innerhalb des VCV-Ansatzes werden zwei getrennte Methoden zur Bestimmung der zugrunde liegenden Volatilität der Renditen als Simple Moving Average (SMA) - Methode als die Exponentiell gewichtete Moving Average (EWMA) Methode betrachtet. VaR mit Monte Carlo Simulation ist nicht in diesem Beitrag abgedeckt. Wir präsentieren Berechnungen für: SMA tägliche Volatilität SMA täglich VaR J-Tag Holding SMA VaR Portfolio Holding SMA VaR EWMA tägliche Volatilität J-Tag Halteperiode EWMA VaR Historische Simulation täglich VaR Historische Simulation J-Tag Holding VaR 10-Tage-Holding historische Simulation VaR Verlustbetrag für 99 Vertrauensniveau Value at Risk Beispiel 8211 Kontext Unser Portfolio umfasst physische Exposition gegenüber 100 Unzen Gold und 1000 Barrel WTI Crude. Der Preis für Gold (pro Feinunze) beträgt 1.598,50 und der Preis von WTI (pro Barrel) beträgt 85.04 am 29-Jun-2012. Daten Preis Zeitreihe Historische Preisdaten für Gold und WTI wurden für den Zeitraum 1-Jun-2011 bis 29-Jun-2012 von onlygold und eia. gov erhalten. Der in der VaR-Berechnung betrachtete Zeitraum wird als Rückblickzeit bezeichnet. Es ist die Zeit, über die das Risiko ausgewertet werden soll. Abbildung 1 zeigt einen Auszug aus den täglichen Zeitreihendaten: Abbildung 1: Zeitreihendaten für Gold und WTI Die Return-Serie Der erste Schritt für einen der VaR-Ansätze ist die Ermittlung der Return-Serie. Dies wird erreicht, indem man den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses der aufeinanderfolgenden Preise, wie in Abbildung 2 gezeigt, erreicht: Abbildung 2: Rückgabeserie für Gold und WTI Zum Beispiel wird die tägliche Rendite für Gold am 2. Juni 2011 (Zelle G17) berechnet Als LN (Cell C17 Cell C16) ln (1539.501533.75) 0,37. Varianz Kovarianz Einfacher bewegter Durchschnitt (SMA) Nächste SMA tägliche Volatilität wird berechnet. Die Formel lautet wie folgt: Rt ist die Rendite zum Zeitpunkt t. E (R) ist der Mittelwert der Rückverteilungsverteilung, der in EXCEL erhalten werden kann, indem man den Durchschnitt der Rückkehrreihe, d. h. DURCHSCHNITT (Array der Rückkehrreihe) annimmt. Summieren Sie die quadrierten Differenzen von Rt über E (R) über alle Datenpunkte und teilen Sie das Ergebnis durch die Anzahl der Renditen in der Serie ab, um die Varianz zu erhalten. Die Quadratwurzel des Ergebnisses ist die Standardabweichung oder die SMA-Volatilität der Return-Serie. Alternativ kann die Volatilität direkt in EXCEL berechnet werden, indem die STDEV-Funktion verwendet wird, die auf die Rückkehrreihe angewendet wird, wie in Abbildung 3 dargestellt: Abbildung 3: Rückführungsdaten für Gold und WTI Die tägliche SMA-Volatilität für Gold in Zelle F18 wird als STDEV berechnet (Array von Gold-Return-Serie). Die tägliche SMA-Volatilität für Gold beträgt 1.4377 und für WTI ist 1.9856. SMA täglich VaR Wie viel Sie stehen zu verlieren, über eine gegebene Halteperiode und mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit VaR misst den Worst-Case-Verlust, der wahrscheinlich über ein Haltezeitraum mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit oder einem Konfidenzniveau auf einem Portfolio gebucht wird. Als Beispiel, unter der Annahme eines 99 Konfidenzniveaus, ein VaR von USD 1 Million oer eine zehn Tage Halteperiode bedeutet, dass es nur eine 1-prozentige Chance gibt, dass Verluste über USD 1 über die nächsten zehn Tage hinausgehen werden. Die SMA - und EWMA-Ansätze für den VaR gehen davon aus, dass die täglichen Renditen einer normalen Verteilung folgen. Der tägliche VaR, der mit einem gegebenen Konfidenzniveau assoziiert ist, wird berechnet als: Täglicher VaR Volatilität oder Standardabweichung der Rückkehrreihe z-Wert der Umkehrung der standardmäßigen normalen kumulativen Verteilungsfunktion (CDF), die einem bestimmten Konfidenzniveau entspricht. Wir können nun die folgende Frage beantworten: Was ist der tägliche SMA VaR für Gold und WTI bei einem Konfidenzniveau von 99 Dies ist in Abbildung 4 unten dargestellt: Abbildung 4: Täglicher VaR Täglicher VaR für Gold, berechnet in Zelle F16, ist das Produkt der Tägliche SMA-Volatilität (Zelle F18) und der z-Wert des Inversen der Standard-Normal-CDF für 99. In EXCEL wird die inverse z-Punktzahl bei 99 Konfidenzniveau als NORMSINV (99) 2.326 berechnet. Der Tages-VaR für Gold und WTI bei 99 Konfidenzniveau arbeitet also auf 3.3446 bzw. 4.6192. J-Tag mit SMA VaR Szenario 1 Die oben erwähnte Definition des VaR berücksichtigt drei Dinge, maximale Verlust, Wahrscheinlichkeit und Haltezeit. Die Haltedauer ist die Zeit, die es braucht, um das Asset-Portfolio auf dem Markt zu liquidieren. In Basel II und Basel III ist eine zehntägige Haltedauer eine Standardannahme. Wie integriert man die Halteperiode in Ihre Berechnungen Was ist der Betrieb SMA VaR für WTI amp Gold für eine Haltedauer 10 Tage bei einem Konfidenzniveau von 99 Haltefrist VaR Täglich VaR SQRT (Haltezeit in Tagen) Wo SQRT (.) Ist EXCELs Quadratwurzelfunktion. Dies wird für die WTI und Gold in Abbildung 5 unten gezeigt: Abbildung 5: 10-tägige Halteperiode VaR 99 Konfidenzniveau Die 10-tägige VaR für Gold mit 99 Konfidenzniveau (Zelle F15) wird durch Multiplikation des täglichen VaR (Zelle F17 ) Mit der Quadratwurzel der Halteperiode (Zelle F16). Das klappt um 10.5767 für Gold und 14.6073 für WTI. J-Tag mit SMA VaR Scenario 2 Lasst uns die folgende Frage betrachten: Was hält der SMA VaR für Gold amp WTI für eine Haltedauer 252 Tage bei einem Konfidenzniveau von 75 Beachten Sie, dass 252 Tage für die Trading-Tage in einem Jahr gelten. Die Methodik ist die gleiche wie bei der Berechnung der 10-Tage-Holding SMA VaR bei einem 99 Konfidenzniveau, mit der Ausnahme, dass das Konfidenzniveau und die Halteperiode geändert werden. Daher bestimmen wir zunächst den täglichen VaR auf dem 75-Konfidenzniveau. Erinnern Sie sich, dass der tägliche VaR das Produkt der täglichen SMA-Volatilität der zugrunde liegenden Renditen und der inversen z-Score ist (hier berechnet für 75, d. h. NORMSINV (75) 0.6745). Der daraus resultierende tägliche VaR wird dann mit der Quadratwurzel von 252 Tagen multipliziert, um in den Betrieb VaR zu gelangen. Dies ist in Abbildung 6 unten dargestellt: Abbildung 6: 252-Tage-Halteperiode VaR 75 Konfidenzniveau 252-Tage-Holding VaR bei 75 für Gold (Zelle F15) ist das Produkt des täglichen VaR, berechnet auf 75 Konfidenzniveau (Zelle F17) und Die Quadratwurzel der Halteperiode (Zelle F16). Es ist 15.3940 für Gold und 21.2603 für WTI. Der tägliche VaR wiederum ist das Produkt der täglichen SMA-Volatilität (Cell F19) und der inversen Z-Score, die mit dem Konfidenzniveau (Cell F18) assoziiert ist. Portfolio-Holding SMA VaR Wir haben bisher nur die Berechnung des VaR für einzelne Vermögenswerte berücksichtigt. Wie verlängern wir die Berechnung auf das Portfolio VaR Wie werden Korrelationen zwischen den Vermögenswerten, die bei der Bestimmung des Portfolios berücksichtigt werden. Betrachten wir die folgende Frage: Was ist die 10-tägige SMA VaR für ein Portfolio von Gold und WTI auf einem Konfidenzniveau 99 Der erste Schritt in dieser Berechnung ist die Bestimmung von Gewichten für Gold und WTI in Bezug auf das Portfolio. Lassen Sie uns die zu Beginn der Fallstudie erwähnte Portfoliisteile erneut besprechen: Das Portfolio umfasst 100 Unzen Gold und 1000 Barrel WTI Crude. Der Preis für Gold (pro Feinunze) beträgt 1.598,50 und der Preis von WTI (pro Barrel) beträgt 85.04 am 29-Jun-2012. Die Berechnung der Gewichte ist in Abbildung 7 dargestellt: Abbildung 7: Gewichte der einzelnen Vermögenswerte im Portfolio Die Gewichte wurden auf Basis des Marktwertes des Portfolios am 29. Juni 2012 bewertet. Die Marktwerte der Vermögenswerte werden durch Multiplikation der Menge eines bestimmten Vermögenswertes im Portfolio mit seinem Marktpreis am 29. Juni 2012 berechnet. Gewichte werden dann als Marktwert des Vermögenswertes dividiert durch den Marktwert des Portfolios berechnet, wobei der Marktwert des Portfolios die Summe der Marktwerte über alle Vermögenswerte des Portfolios ist. Als nächstes haben wir für jeden Datenpunkt (Datum) eine gewichtete durchschnittliche Rendite für das Portfolio ermittelt. Dies ist in Abbildung 8 unten dargestellt: Abbildung 8: Portfolio-Renditen Die gewichtete durchschnittliche Rendite des Portfolios für ein bestimmtes Datum wird als Summe über alle Vermögenswerte des Produkts der Vermögenswerte für dieses Datum und die Gewichte berechnet. Zum Beispiel für 2-Jun-2011 wird die Portfolio-Rendite als (0.3765.27) (0.1134.73) 0.28 berechnet. Dies kann in EXCEL unter Verwendung der SUMPRODUCT-Funktion erfolgen, wie in der Funktionsleiste von Fig. 8 oben gezeigt, die auf die Gewichtszeile (Zelle C19 bis Zelle D19) angewendet wird, und die Zeilen (Zelle Fxx zu Zelle Gxx) für jedes Datum zurückgeben. Um die Gewichtsreihe in der Formel konstant zu halten, wenn sie kopiert und über den Bereich der Datenpunkte eingefügt wird, werden Dollarzeichen auf die Gewichtsreferenzzelle (d. h. C19: D19) angewendet. Zur Berechnung der Volatilität gelten die täglichen VaR und die Haltedauer VaR für das Portfolio für die einzelnen Vermögenswerte. Das ist die tägliche SMA-Volatilität für das Portfolio STDEV (Array von Portfolio-Renditen) SMA täglich VaR für das Portfolio Tägliche Volatilität NORMSINV (X) und Haltezeit VaR für das Portfolio Tägliche VaRSQRT (Haltefrist). Wir können nun die Frage beantworten: Was ist der 10-tägige SMA VaR für ein Portfolio von Gold und WTI bei einem Konfidenzniveau von 99 Es ist 9.1976. Abweichungs-Kovarianz-Ansatz 8211 Exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) Wir werden nun untersuchen, wie exponentiell gewichteter gleitender Durchschnitt (EWMA) VCV VaR berechnet wird. Der Unterschied zwischen den EWMA-Amp-SMA-Methoden zum VCV-Ansatz liegt in der Berechnung der zugrunde liegenden Volatilität der Renditen. Unter SMA wird die Volatilität () wie folgt ermittelt (wie bereits erwähnt) unter folgender Formel: Unter EWMA wird jedoch die Volatilität der zugrunde liegenden Renditeverteilung () wie folgt berechnet: Während die SMA-Methode der Rendite in der Serie gleichermaßen von Bedeutung ist, EWMA legt großen Wert auf die Rendite von neueren Terminen und Zeiträumen, da die Informationen im Laufe der Zeit weniger relevant werden. Dies wird durch die Angabe eines Parameters lambda (), wobei 0lt lt1, und die Platzierung von exponentiell abnehmenden Gewichten auf historische Daten erreicht. Das. Wert bestimmt das Gewicht-Alter der Daten in der Formel, so dass je kleiner der Wert von. Je schneller das Gewicht zerfällt. Wenn das Management erwartet, dass die Volatilität sehr instabil ist, dann wird es eine Menge Gewicht für die jüngsten Beobachtungen geben, während, wenn es erwartet, dass die Volatilität stabil ist, dass es mehr gleiche Gewichte für ältere Beobachtungen geben würde. Abbildung 9 unten zeigt, wie Gewichte für die Bestimmung der EWMA-Volatilität in EXCEL berechnet werden: Abbildung 9: Gewichte bei der Berechnung der EWMA-Volatilität Es gibt 270 Renditen in unserer Rendite-Serie. Wir haben ein Lambda von 0,94, ein Industriestandard verwendet. Betrachten wir zuerst die Spalte M in Abbildung 9 oben. Die späteste Rückkehr in der Serie (für 29-Jun-2012) wird mit der T-10 vergeben, die Rückkehr am 28-Jun-2012 wird mit t-11 und so weiter vergeben, so dass die erste Rückkehr in unsere Zeitreihe 2-Jun - 2011 hat t-1 269. Das Gewicht ist ein Produkt von zwei Element 1- Lambda (Spalte K) und Lambda erhöht auf die Macht von t-1 (Spalte L). Zum Beispiel ist das Gewicht am 2-Jun-2011 (Zelle N25) Cell K25 Cell L25. Skalierte Gewichte Da die Summe der Gewichte nicht gleich 1 ist, ist es notwendig, sie zu skalieren, damit ihre Summe gleich Eins ist. Dies geschieht durch Aufteilen der oben berechneten Gewichte um 1 n, wobei n die Anzahl der Renditen in der Reihe ist. Abbildung 10: Skalierte Gewichte bei der Berechnung der EWMA-Volatilität EWMA-Varianz EWMA-Varianz ist einfach die Summe aller Datenpunkte der Multiplikation von quadrierten Renditen und der skalierten Gewichte. Sie können sehen, wie das Produkt der quadratischen Rückkehr und der skalierten Gewichte in der Funktionsleiste von Abbildung 11 unten berechnet wird: Abbildung 11: Gewichtete quadratische Rückholreihen, die für die Bestimmung der EWMA-Variante verwendet werden Sobald Sie diese Produktreihe von Gewichtszeiten erreicht haben, Summiere die ganze Serie, um die Varianz zu erhalten (siehe Abbildung 12 unten). Wir berechnen diese Varianz für Gold, WTI amp das Portfolio (unter Verwendung des Marktwertes der zuvor gewählten Wertsteigerungen): Abbildung 12: EWMA-Abweichung Tägliche EWMA-Volatilität Die tägliche EWMA-Volatilität für Gold, WTI-Amp des Portfolios ergibt sich aus der Platzierung des Platzes Wurzel der oben definierten Varianz Dies ist in der Funktionsleiste von Abbildung 13 unten für Gold dargestellt: Abbildung 13: Tägliche EWMA-Volatilität Täglich EWMA VaR Täglich EWMA VaR Täglicher EWMA-Volatilitäts-Z-Wert von inversem Standard normaler CDF. Dies ist der gleiche Prozess verwendet, um die tägliche SMA VaR nach Erhalt der täglichen SMA Volatilität zu bestimmen. Abbildung 14 zeigt die Berechnung des täglichen EWMA VaR bei der 99 Konfidenzniveau: Abbildung 14: Täglich EWMA VaR J-Day Holding EWMA VaR Holding EWMA VaR Täglich EWMA VaR SQRT (Halteperiode), bei dem es sich um denselben Prozess handelt, der zur Bestimmung der Holding SMA VaR verwendet wird Erhalten täglich SMA VaR. Dies ist für die 10-tägige Holding EWMA VaR in Abbildung 15 unten dargestellt: Abbildung 15: Holding EWMA VaR VaR Historische Simulationsansatz Geordnete Rücksendungen Im Gegensatz zum VCV-Ansatz für VaR wird keine Annahme über die zugrunde liegende Renditeverteilung im historischen Simulationsansatz gemacht. Der VaR basiert auf der tatsächlichen Renditeverteilung, die wiederum auf dem in den Berechnungen verwendeten Datensatz basiert. Der Ausgangspunkt für die Berechnung von VaR für uns ist dann die zurückgegebene Rückholreihe. Unsere erste Geschäftsordnung ist, die Serie in aufsteigender Reihenfolge neu zu ordnen, von der kleinsten Rückkehr zur größten Rendite. Jede geordnete Rückgabe erhält einen Indexwert. Dies ist in Abbildung 16 unten dargestellt: Abbildung 16: Geordnete Tagesrendite Tägliche historische Simulation VaR Es gibt 270 Renditen in der Serie. Bei der 99 Konfidenzniveau entspricht der tägliche VaR unter dieser Methode der Rendite, die der Indexzahl entspricht, die wie folgt berechnet wird: (1-Konfidenzniveau) Anzahl der Renditen, bei denen das Ergebnis auf die nächste Ganzzahl gerundet wird. Diese Ganzzahl repräsentiert die Indexnummer für eine gegebene Rendite, wie in Abbildung 17 unten dargestellt: Abbildung 17: Ermittlung der Indexnummer, die dem Konfidenzniveau entspricht Die der entsprechenden Indexnummer entsprechende Rendite ist die tägliche historische Simulation VaR. Dies ist in Abbildung 18 dargestellt: Abbildung 18: Tägliche historische Simulation VaR Die VLOOKUP-Funktion sucht die Rückkehr zum entsprechenden Indexwert aus dem Auftragsrückgabedatensatz. Beachten Sie, dass die Formel den absoluten Wert des Ergebnisses annimmt. Zum Beispiel bei der 99 Konfidenzniveau geht die Integerzahl auf 2. Für Gold entspricht dies der Rückkehr von -5.5384 oder 5.5384 in absoluten Zahlen, dh es gibt eine Chance, dass der Goldpreis um mehr als 5.5384 über ein Haltedauer von 1 Tag. 10-Tage-Holding Historische Simulation VaR Wie für den VCV-Ansatz ist der Betrieb VaR gleich dem täglichen VaR mal der Quadratwurzel der Halteperiode. Für Gold geht das auf 5.5384SQRT (10) 17.5139. Betrag des schlimmsten Fallverlustes So was ist die Menge des schlimmsten Fallverlusts für Gold über eine 10-tägige Halteperiode, die nur 1 Tag in 100 Tagen überschritten wird (dh 99 Konfidenzniveau), berechnet nach dem Historical Simulation Ansatz Worst Case Loss für Gold 99 Konfidenzniveau über einen 10-tägigen Haltezeitmarkt Marktwert von Gold 10-Tage-VaR (1598.50100) 17.5139 USD 27.996. Es besteht die Chance, dass der Wert von Gold im Portfolio einen Betrag von mehr als USD 27.996 über einen Haltedauer von 10 Tagen verliert. Abbildung 19: 10-Tage-Holding-VaR-Verlustbetrag bei 99 Konfidenzniveau Verwandte Beiträge: Ergebnisgetriebene exponentiell gewichtete bewegliche durchschnittliche und Value-at-Risk-Prognose Eine einfache Methodik wird zur Modellierung von Zeitvariationen in Volatilitäten und anderen höheren präsentiert Momente mit einem rekursiven Aktualisierungsschema, ähnlich dem bekannten RiskMetrics-Ansatz. Wir aktualisieren die Parameter mit der Punktzahl der Prognoseverteilung. Damit kann sich die Parameterdynamik automatisch an alle nicht-normalen Datenmerkmale anpassen und die nachfolgenden Schätzungen robustifizieren. Der neue Ansatz nistet einige der früheren Erweiterungen des exponentiell gewichteten gleitenden durchschnittlichen (EWMA) Schemas. Darüber hinaus kann es problemlos auf höhere Dimensionen und alternative Prognoseverteilungen erweitert werden. Die Methode wird auf Value-at-Risk-Prognose mit (skewed) Students t-Distributionen und einem zeitvariablen Freiheitsgrad und einem Schiefeparameter angewendet. Wir zeigen, dass die neue Methode wettbewerbsfähig ist oder besser als frühere Methoden bei der Prognose der Volatilität der einzelnen Aktienrenditen und Wechselkursrenditen. Wenn Sie Probleme beim Herunterladen einer Datei haben, überprüfen Sie, ob Sie die richtige Anwendung haben, um sie zuerst anzuzeigen. Bei weiteren Problemen lesen Sie die IDEAS-Hilfeseite. Beachten Sie, dass diese Dateien nicht auf der IDEAS-Website sind. Bitte sei geduldig, da die Dateien groß sein können. Andere Versionen dieses Artikels: Finden Sie ähnliche Papiere von JEL Klassifizierung: C51 - Mathematische und quantitative Methoden - - Ökonometrische Modellierung - - - Modellbau und Schätzung C52 - Mathematische und quantitative Methoden - - Ökonometrische Modellierung - - - Modellbewertung, Validierung und Auswahl C53 - Mathematische und quantitative Methoden - - Ökonometrische Modellierung - - - Prognose - und Vorhersagemodelle Simulationsmethoden G15 - Finanzökonomik - - Allgemeine Finanzmärkte - - - Internationale Finanzmärkte Referenzen auf der Basis von IDEAS Bitte melden Sie Zitier - oder Referenzfehler an. oder. Wenn Sie der registrierte Autor der zitierten Arbeit sind, melden Sie sich bei Ihrem RePEc Author Service-Profil an. Klicken Sie auf Zitate und passen Sie entsprechende Einstellungen vor. Pawel Janus Siem Jan Koopman Andr Lucas, 2011. Lange Gedächtnisdynamik für multivariate Abhängigkeit unter Heavy Tails, Tinbergen Institut Diskussionspapiere 11-1752DSF28, Tinbergen Institut. Blasques, Francisco Ji, Jiangyu Lucas, Andr, 2016. Semiparametrische Score getriebene Volatilitätsmodelle, Computational Statistics Data Analysis. Elsevier, vol. 100 (C), Seiten 58-69. Christoffersen, Peter F, 1998. Auswertung von Intervallprognosen, International Economic Review. Fachbereich Wirtschaftswissenschaften, Universität Pennsylvania und Osaka University Institute of Social and Economic Research Association, Bd. 39 (4), Seiten 841-862, November. Tim Bollerslev, 1986. Verallgemeinerte autoregressive bedingte Heteroskedastizität, EERI Research Paper Serie EERI RP 198601, Wirtschaftswissenschaften und Ökonometrie Forschungsinstitut (EERI), Brüssel. Wenn Sie eine Korrektur anfordern, bitte erwähnen Sie diese Elemente Handle: RePEc: Zinn: wpaper: 20140092. Siehe allgemeine Informationen zur Korrektur von Material in RePEc. 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Backtesting misst die Genauigkeit der VaR Berechnungen. Mit Hilfe von VaR-Methoden wird die Verlustprognose berechnet und dann mit den tatsächlichen Verlusten am Ende des nächsten Tages verglichen. Der Grad der Differenz zwischen den vorhergesagten und tatsächlichen Verlusten gibt an, ob das VaR-Modell das Risiko unterschätzt oder überschätzt. Als solches schaut das Backtesting retrospektiv auf Daten und hilft, das VaR-Modell zu beurteilen. Die drei Schätzmethoden, die in diesem Beispiel verwendet werden, schätzen den VaR bei 95 und 99 Konfidenzniveaus. Laden der Daten und Definieren des Testfensters Laden der Daten. Die in diesem Beispiel verwendeten Daten stammen aus einer Zeitreihe von Renditen im SampP-Index zwischen 1993 und 2003. Definieren Sie das Schätzfenster als 250 Handelstage. Das Testfenster startet am ersten Tag im Jahr 1996 und läuft am Ende der Probe. Für ein VaR-Konfidenzniveau von 95 und 99, setze das Komplement des VaR-Levels ein. Diese Werte bedeuten, dass es höchstens eine Wahrscheinlichkeit von 5 und 1 gibt, dass der entstandene Verlust größer als der maximale Schwellenwert (dh größer als der VaR) ist. Berechnen Sie den VaR mit der Normalverteilungsmethode Für die normale Verteilungsmethode wird davon ausgegangen, dass der Gewinn und Verlust des Portfolios normalerweise verteilt ist. Mit dieser Annahme berechnen Sie den VaR durch Multiplikation des z-Scores mit jedem Konfidenzniveau durch die Standardabweichung der Renditen. Weil VaR-Backtesting retrospektiv auf Daten schaut, wird der VaR heute auf der Grundlage der Werte der Renditen in den letzten N 250 Tagen, die zu, aber nicht einschließlich, heute berechnet. Die normale Verteilungsmethode wird auch als parametrischer VaR bezeichnet, da ihre Schätzung die Berechnung eines Parameters für die Standardabweichung der Rückkehr beinhaltet. Der Vorteil der normalen Verteilungsmethode ist ihre Einfachheit. Allerdings ist die Schwäche des Normalverteilungsverfahrens die Annahme, dass die Renditen normalerweise verteilt sind. Ein anderer Name für die normale Verteilungsmethode ist der Varianz-Kovarianz-Ansatz. Berechnen des VaR mit der Historischen Simulationsmethode Im Gegensatz zur normalen Verteilungsmethode ist die historische Simulation (HS) eine nichtparametrische Methode. Es geht nicht davon aus, dass eine bestimmte Verteilung der Vermögenswertrenditen erfolgt. Historische Simulation prognostiziert Risiko durch die Annahme, dass vergangene Gewinne und Verluste können als die Verteilung der Gewinne und Verluste für die nächste Periode der Renditen verwendet werden. Der VaR wird heute als p th-Quantil der letzten N-Renditen vor heute berechnet. Die vorstehende Abbildung zeigt, dass die historische Simulationskurve ein stückweise konstantes Profil aufweist. Der Grund dafür ist, dass sich die Quantile nicht für mehrere Tage ändern, bis Extremereignisse auftreten. So ist die historische Simulationsmethode langsam auf Veränderungen der Volatilität zu reagieren. Berechnen Sie den VaR mit der exponentiell gewichteten Moving Average Methode (EWMA) Die ersten beiden VaR Methoden gehen davon aus, dass alle bisherigen Renditen das gleiche Gewicht tragen. Die exponentiell gewichtete gleitende Mittelwerte (EWMA) - Methode weist nichtwichtige Gewichte, insbesondere exponentiell abnehmende Gewichte, zu. Die jüngsten Renditen haben höhere Gewichte, weil sie heute heute stärker zurückkehren, als in der Vergangenheit weiter zurückzukehren. Die Formel für die EWMA-Varianz über ein Schätzfenster der Größe ist: Für die Bequemlichkeit nehmen wir ein unendlich großes Schätzfenster an, um die Varianz zu approximieren: Ein Wert des in der Praxis häufig verwendeten Zerfallsfaktors beträgt 0,94. Dies ist der in diesem Beispiel verwendete Wert. Weitere Informationen finden Sie unter Referenzen. Initiieren Sie die EWMA mit einer Aufwärmphase, um die Standardabweichung einzurichten. Benutze die EWMA im Testfenster zur Schätzung des VaR. In der vorangehenden Figur reagiert die EWMA sehr schnell auf Perioden großer (oder kleiner) Renditen. VaR Backtesting Im ersten Teil dieses Beispiels wurde VaR über das Testfenster mit drei verschiedenen Methoden und bei zwei verschiedenen VaR-Konfidenzniveaus geschätzt. Das Ziel des VaR-Backtests ist es, die Leistung der VaR-Modelle zu bewerten. Eine VaR-Schätzung bei 95 Vertrauen wird nur etwa 5 der Zeit verletzt, und VaR-Fehler nicht Cluster. Die Clusterung von VaR-Fehlern zeigt den Mangel an Unabhängigkeit über die Zeit hinweg, weil die VaR-Modelle nur langsam auf veränderte Marktbedingungen reagieren. Ein gemeinsamer erster Schritt in der VaR-Backtesting-Analyse ist es, die Renditen und die VaR-Schätzungen zusammenzulegen. Plot alle drei Methoden auf der 95 Konfidenz Ebene und vergleichen sie mit den Renditen. Um zu zeigen, wie sich die verschiedenen Ansätze unterschiedlich auf veränderte Marktbedingungen reagieren, können Sie die Zeitreihen vergrößern, in denen es eine große und plötzliche Veränderung des Wertes der Renditen gibt. Zum Beispiel, um August 1998: Ein VaR-Fehler oder eine Verletzung geschieht, wenn die Renditen einen negativen VaR haben. Ein näherer Blick um den 27. August bis 31. August zeigt ein deutliches Dip in den Renditen. An den Daten ab dem 27. August folgt die EWMA dem Trend der Renditen genau und genauer. Folglich hat EWMA im Vergleich zum normalen Verteilungsansatz (sieben Verletzungen) oder der historischen Simulationsmethode (acht Verstöße) weniger VaR-Verletzungen (zwei). Neben visuellen Tools können Sie statistische Tests für VaR Backtesting verwenden. In der Risk Management Toolbox unterstützt ein Varbacktest-Objekt mehrere statistische Tests für die VaR-Backtesting-Analyse. In diesem Beispiel beginnen Sie mit dem Vergleich der verschiedenen Testergebnisse für den Normalverteilungsansatz bei den 95 und 99 VaR Ebenen. Der zusammenfassende Bericht zeigt, dass der beobachtete Wert nahe genug auf den definierten VaR-Level liegt. Die 95 und 99 VaR-Stufen haben höchstens (1-VaRlevel) x N erwartete Ausfälle, wobei N die Anzahl der Beobachtungen ist. Das Fehlerverhältnis zeigt, dass der Normal95 VaR-Pegel innerhalb des Bereichs liegt, während der Normal99 VaR-Level ungenau ist und das Risiko unterprognostiziert wird. Um alle im varbacktest unterstützten Tests auszuführen. Verwenden Sie Runtests. Die 95 VaR übergibt die Häufigkeitstests wie Ampel, Binomial und Anteil der Ausfalltests (TL-Bin - und POF-Spalten). Die 99 VaR übergibt diese Tests nicht, wie durch die Gelb - und Ablehnungsergebnisse angegeben Wurde in der bedingten Abdeckung Unabhängigkeit und Zeit zwischen Ausfall Unabhängigkeit (CCI und TBFI Spalten abgelehnt. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die VaR Verletzungen sind nicht unabhängig, und es gibt wahrscheinlich Perioden mit mehreren Ausfällen in einer kurzen Zeitspanne Weitere Informationen zu den Testmethoden und der Interpretation der Ergebnisse finden Sie unter docid: riskug. bvaa3t4 und den einzelnen Tests. Mit einem Varbacktest-Objekt führen Sie die gleichen Tests auf dem Portfolio für die drei aus Ansätze bei beiden VaR-Konfidenzniveaus Die Ergebnisse ähneln den vorherigen Ergebnissen, und bei der 95-Ebene sind die Häufigkeitsergebnisse im Allgemeinen akzeptabel. Die Häufigkeitsresultate auf der 99-Ebene sind jedoch im Allgemeinen Ablehnungen. In Bezug auf die Unabhängigkeit, die meisten Tests übergeben die Bedingung Abdeckung Unabhängigkeitstest (docid: riskug. bvabiyt-1), die Tests auf Unabhängigkeit an aufeinander folgenden Tagen. Beachten Sie, dass alle Tests die Zeit zwischen Ausfällen Unabhängigkeitstest (docid: riskug. bvabi29-1), die die Zeiten zwischen allen Ausfällen berücksichtigt berücksichtigt. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass alle Methoden Probleme mit der Unabhängigkeitsannahme haben. Um besser zu verstehen, wie sich diese Ergebnisse bei den Marktbedingungen ändern, schauen Sie sich die Jahre 2000 und 2002 für das 95 VaR-Konfidenzniveau an. Für das Jahr 2000 übergeben alle drei Methoden alle Tests. Für das Jahr 2002 sind die Testergebnisse meistens Ablehnungen für alle Methoden. Die EWMA-Methode scheint im Jahr 2002 besser zu sein, doch alle Methoden scheitern die Unabhängigkeitstests. Um einen Einblick in die Unabhängigkeitstests zu erhalten, schau in die bedingte Abdeckungsunabhängigkeit (docid: riskug. bvabiyt-1) und die Zeit zwischen Ausfall Unabhängigkeit (docid: riskug. bvabi29-1) Testdetails für das Jahr 2002. Um auf den Test zuzugreifen Details für alle Tests, führen Sie die einzelnen Testfunktionen aus. Im CCI-Test ist die Wahrscheinlichkeit p 01 mit einem Ausfall zum Zeitpunkt t. Zu wissen, dass es zum Zeitpunkt t -1 kein Versagen gab, ist gegeben durch die Wahrscheinlichkeit p 11, dass sie zum Zeitpunkt t einen Fehler hat. Zu wissen, dass es zum Zeitpunkt t -1 fehlgeschlagen ist, wird von der N00 gegeben. N10 N01 N11 Spalten in den Testergebnissen liegt der Wert von p 01 bei den drei Methoden bei etwa 5, doch liegen die Werte von p 11 über 20. Da es einen Nachweis gibt, dass ein Fehler mit einem anderen Fehler viel häufiger als 5 der Zeit, dieser CCI-Test scheitert. In der Zeit zwischen Ausfällen Unabhängigkeitstest, schauen Sie sich die minimale, maximale und quartile der Verteilung der Zeiten zwischen Ausfällen, in den Spalten TBFMin. TBFQ1 TBFQ2 TBFQ3 TBFMax Für eine VaR-Stufe von 95 erwarten Sie eine durchschnittliche Zeit zwischen Ausfällen von 20 Tagen oder einem Ausfall alle 20 Tage. Allerdings liegt der Median der Zeit zwischen den Ausfällen für das Jahr 2002 zwischen 5 und 7,5 für die drei Methoden. Dieses Ergebnis deutet darauf hin, dass die Hälfte der Zeit, zwei aufeinanderfolgende Ausfälle innerhalb von 5 bis 7 Tage auftreten, viel häufiger als die 20 erwarteten Tage. Folglich treten mehr Testfehler auf. Für die normale Methode ist das erste Quartil 1, was bedeutet, dass 25 der Fehler an aufeinanderfolgenden Tagen auftreten. Referenzen Nieppola, O. Backtesting Value-at-Risk Modelle. Helsinki School of Economics 2009. Danielsson, J. Financial Risk Forecasting: Die Theorie und Praxis der Prognose Marktrisiko, mit Umsetzung in R und MATLAB. Wiley Finance, 2012. MATLAB und Simulink sind eingetragene Warenzeichen der MathWorks, Inc. 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